内容が「鍵を探す話」で、それをそのまま書いてるだけなので、起伏がなく面白味に欠けるというのが正直な感想です。
ストレートに「鍵を探す話」でまとめる場合、目的「鍵を見つける」に対する障害を置かなければ盛り上がりませんが、直接的には「探すけど見つからない」というネタが真っ先に思い浮かびます。御作では「情報を探すが手に入らない」と表現されてる部分ですね。
他には「見つけたけど別物だった」「同じモノが大量にあってどれが本物かわからない」といったネタがよくありますが、１０分という制限が表現の幅を狭くしてしまっています。
そして御作では「見つけたけど逃げられる」というネタを採用されていますが、結局のところ「探すけど見つからない」「見つけるけど逃げられる」「偶然のトラブルで鍵を入手」という展開なので、ハッキリ言えば「鍵を探す話」という主旨に対してドストレート。
なんのヒネリもないため面白味がないので、このままで書く場合はもう一味「人の話を聞かないまま探しに行った心は、戻ってくると、既に車に乗ってる綾子を見つけた。綾子は普通にスペアキーを使って車を動かしたのだった。自分の苦労はなんだったのかと気が抜けて、先生の言う通り人の話はちゃんと聞こうと心は反省した」といった感じでオチをつけたら良いのではないかなと思う。
内容がドストレートだから、オチで「鍵がないという前提を否定する」ってな適当なヒネリでもまとまりが良くなります。
要するにもう一味オチをつけたら良いのではないか、という助言です。

また、内容を全体的にいじる場合。
「鍵を探す」という内容自体に面白味が薄い（鍵が見つかればそれで終わりで得られるものが何もないため）ので、大枠はそのままで「鍵を探す」というコトを別モノに置き換える、という手段もあるかと思います。
例えば「心と正志は二人とも綾子に好意を抱いている」と設定した場合、「どっちが鍵を見つけ届けるか」は「綾子に感謝されるための恋の競争」というテーマに変わります。
「世話になった元担任で好意を抱いてる心」と「その担任にいま世話をかけてる悪ガキで好きな子に意地悪しちゃう正志」という対立が作れるし、「鍵を見つける」というテーマだけでなく「恋の行方はどうなるか」という見方もできるようになるので、面白さが広がります。
もちろんその場合もオチを一捻りして「心は鍵を届けて感謝されるが、綾子は婚約者とのデートに遅刻しそうで慌ててたと判明し、傷心して車を見送った」とかすると一気にまとまりますね。

内容が１０分の出来事と短く、掌編ほどのサイズになるんじゃないかと思うので、オチで一気にまとめる手段が有効ではないかなと思います。
そう考えると「鍵を奪取した」で終わるのはヒネリがなく、展開もドストレートすぎて面白味がない、という判断になってしまうかなと。