あらすじを書く際に全ての設定を書くべきかという質問なのであれば、その必要はないと答える。
けれど、わかるように書くべきである、とは思う。

例えば「ロミオとジュリエット」のあらすじを書く場合、「代々対立してるモンタギュー家のロミオとキャピュレット家のジュリエットはパーティーで恋に落ちてしまい（以下略」くらいで問題なく、対立してる理由とか恋に落ちた理由とか詳細なことは書く必要はない。説明不足かなと感じるならそれ以上は世界観やキャラ設定などに書く。
というのも。
「ロミオとジュリエット」で大事なのは「対立してる家同士の恋愛」であって、そこが面白い部分なので、それ以外のことは書く必要がなくて、そこが一番栄えるように余計なことは排除して書かないと第三者に伝わらないし、ぶっちゃけ余計な情報ばっか書くと作者自身が大事な部分を見失う。

そうやって余計なことは排除して端的に書こうと思うと、でも、例えば序盤が「ロミオが街を歩いていると偶然ジュリエットと出会って一目惚れした」という展開だとして、これだとこの一文だけで「ロミオの家とジュリエットの家が対立している」ってことがわからない。こういう展開だと説明しなきゃならなくなる。
なので、「ロミオは遊び心で敵対する家のキャピュレット家のパーティーに忍び込むと、そこでジュリエットと出会い一目惚れしてしまう」といった感じの展開にしたほうが「家が敵対してる」ということがわかるし、ロミオが他家のパーティーに乗り込むくらいやんちゃな人間っていうキャラもわるし、こっちのほうが演出として良い展開だとわかる。

この例で前者の「街で偶然」のパターンだと「あらすじでもちゃん設定の説明を入れないとわからない」けど、後者の「パーティーに忍び込む」パターンだと「特に説明もないけどあらすじだけで設定がわかる」でしょ。
この状態が理想的で、最初に書いた「書く必要ないけどわかるようにすべき」ということで、強いては前レスに書いた「大事な設定なら押し出せ」という演出の話をもっと噛み砕いた感じです。