＞目をつむってるときに顔を小刻みに上下に揺らすのですが、ハムスターの習性なのでしょうか？

これは人間でいう寝相のようなものだと思います。
動物は動いているのが自然な状態で、固まって静止している状態というのは逆に筋肉を酷使して疲れてしまうのです。
このためか、寝ている間も身体が小刻みに動いています。

私はうさぎを現在飼っていますが、うさぎも寝ている間にこのような動作をします。ときどき身体を揺すったりしていますね。
ほぼ、動物に共通した動作だと思います。